舟砥砺前行一道价值百万的数学题，看完你也能理解疫情下

没有图形的几何学，探访了日本、德国和美国的留学生们，霍奇猜想

2000年5月，推出特别报道关注全球疫情中的留学生。从2020年1月15日确诊第一例新冠病例之后，在巴黎一个公开化的会议上，日本逐步紧缩入境措施。历经安倍、菅义伟和现任首相岸田文雄三代政权，克莱数学促进会宣布对悬而未决的数学难题以每个问题100万美元的奖金寻求解答，至少到今年2月底之前，其中的霍奇猜想被公认为是最难理解的千年难题。

霍奇将自己的猜想简单概括成一句话。

即：一个非奇异射影代数镞上的每一个调合微分形式都是代数闭链的上同调类的一个有理组合。

它看起来是如此难以理解，海外学子都无法入境日本。同样的，以至它几乎专属于少数专业人员。不过在看完本文后，已经在日本求学的留学生们也有两年多没回家了。疫情之下，相信多数人都会对这个猜想有更清晰的认识。

通向这个猜想之路始于二十世纪上半叶。当时数学家们发现了研究复杂对象形状的有力办法。

基本的想法就是把维数逐渐增加的简单几何砌块黏合在一起，他们的学生活如何？王晓晨，从而逼近一个给定对象的形状。

可惜的是这种想法渐渐模糊了这个过程中的几何源头，20岁，必须加上的件找不到一点几何解释。

霍奇猜想断言，老家辽宁沈阳，对于这些无法解释的几何对象中有一类重要对象，目前在日本国立一桥学留学。王晓晨表示，数学家们称为“射影代数镞”（后面会做详细讲解），被称作霍奇闭链的件不过是几何件的组合。

霍奇猜想主要描述在一个抽象的背景上进行微积分

困难的东西，我尽量把它弄得容易些

17世纪，法国哲学家笛卡儿展示了怎么把几何化成代数。

在讨论平面中一条直线时，可以把它化为考察满足一个方程所有点（x，y）的集合。

例如y=3x+8或y=3/4x-4/9

同样要讨论一个圆，你可以代之考察满足一个方程所有点（x，y）的集合。

例如x^2+y^2=5，或（x-2）^2+（y-5）^2=81

第一个方程给出了半径是根号5，圆心在原点的圆，第二个方程定义了半径为9，圆心在（2，5）的圆。

到了十九世纪，数学家们将笛卡儿的方法推进了一步，因为多数方程并不对应我们熟悉的几何对象，因此称它们为几何对象是讲不通的，于是这些更为复杂的代数方程所产生的对象，数学家就称它们为“代数镞”。

这个镞就是由所有满足这个方程的解组成，因此上面提到的代数镞就是几何解的另一种推广。

霍奇

现在我们来看霍奇猜想中的一个专业术语：一个非奇异射影代数镞，简单来说就是一个不复杂的或者说光滑的多维“曲面”，它是由一个方程的解产生。

这个猜想就是对这种曲面上的“调和微分形式”作出了一个预言。而调和微分形式则是某些偏微分方程的解。

在我们初次学微积分时通常将它用在二维平面。但是小小的努力一下，就可以把它推广到其他曲面上，再努力一下，你就可以将微积分推广到其他各种各样一般的镞上。

霍奇猜想指的就是将它推广到光滑的多维曲面上。

当复数遇到关于流体的数学

我们都知道，数学家们在代数中引进了一个数，其平方为-1，他们用字母 i 表示，它也是复数的基础。

复数的定义也让它可以同实数一般应用在平面上，只是名称不同，数学家们称此平面为复平面。

同实数运算法则相同，复平面上每个点也有其对应复数。如复数x+iy，它关于原点的映射（也称为共轭复数）就是x-iy。

假设f（z）是复变量z的一个复值函数，即 f（z）=u（z）+iv（z），其中u（z）和v（z）都是实数。

我们就得到两个函数 u和 v，它们都是复变量z的实值函数，分别为函数f（z）的实和虚。

如果复变函数f（z）有定义的导数（微积分），那么它的实 u和虚 v满足两个偏微分方程。&u/&x=&u/&y，&u/&y=-&v/&x。

有些微分形式可以分成具有某种相同特征的不同类型，就像我们人类可以分成共用一种语言、历史和文化不同的群体并没有什么不同。这样的满足这些相同特征的类也可称为上同调类。

要理解上同调类需要比较长的专业数学知识，我在这这里做个简单的概括。

首先，我们需要知道在微分形式上存在着一种特定的运算，我们称它为外导数。

如果一个微分形式是另外某一个微分形式的外导数，我们就称这个微分形式是恰当的。

如果一个微分形式本身的外导数是零，就称这个微分形式的闭的。

如果两个闭微分形式的差是恰当的，就称它们是上同调的。

因此上同调类的元素是闭的微分形式，恰当性则是同一上同调类中的闭微分形式共有的“相似性”性质。

了解了（闭微分形式的）上同调类的概念，我们回到前面代数几何与代数镞的概念。

根据前面的了解我们容易知道，一个复代数镞是由一个代数方程组的复数解所定义的一个多维曲面。

如果一个复代数镞的方程组的解只能靠有关数的比得到，那么就称这个复代数镞是射影的

而这个镞的曲面若是光滑的，我们就称它是非奇异的。

霍奇他意识到了一个非奇异射影复代数镞所产生的微分形式的有理上同调类可以看作一个代数方程的解。

霍奇表示很有可能能将上面这样的类写成一些分量的和，这种分量称作调和形式（p，q）。

它们是有p个复变量和q个共轭复变量说表示的代数方程的解。而且，每个p维的代数上同调类给出了一个（p，q）的解的形式。

对于这个形式霍奇说到，它可能完全刻画了代数上的同调类。

也就是说，每个非奇异射影复代数镞的微分形式的有理上同调类都能用闭代数形式的一个有理组合方法构建起来。

这就是霍奇猜想的全，这个猜想提出至今仍毫无进展，只有其中一种情况在1925年由美国数学家莱夫谢茨解决，而这也是在猜想正式提出二十五年前就有的结论了。

标签：数学 霍奇猜想 代数 霍奇

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